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线性回归是一种监督式机器学习算法，它计算因变量与一个或多个独立特征之间的线性关系。当独立特征的数量为1时，被称为单变量线性回归；在存在多于一个特征的情况下，被称为多变量线性回归。该算法的目标是找到最佳的线性方程，以便基于独立变量预测因变量的值。该方程提供了一条直线，表示因变量和独立变量之间的关系。直线的斜率表明因变量在独立变量发生单位变化时的变化量。

线性回归在许多不同领域中被使用，包括金融、经济学和心理学，用于理解和预测特定变量的行为。例如，在金融领域，线性回归可能被用于理解公司股价与其收益之间的关系，或者根据货币过去的表现预测其未来的价值。

监督学习中最重要的任务之一是回归。在回归中，一组记录具有X和Y值，并且这些值被用于学习一个函数，以便在你想要根据未知的X预测Y时可以使用这个学习到的函数。在回归中，我们需要找到Y的值，因此，在回归的情况下需要一个预测连续Y的函数，而X则作为独立特征。

在这里，Y被称为因变量或目标变量，而X被称为独立变量，也被称为Y的预测变量。有许多种类型的函数或模型可用于回归。线性函数是最简单的函数类型。在这里，X可以是表示问题的单个特征或多个特征。

线性回归执行的任务是基于给定的独立变量（x）来预测一个因变量值（y）。在上面的图中，X（输入）代表工作经验，Y（输出）代表一个人的薪水。回归线是我们模型的最佳拟合线。

线性回归模型的假设：

线性回归是一种强大的工具，用于理解和预测变量的行为，然而，为了得到准确可靠的解决方案，它需要满足一些条件。

（1）线性关系：独立变量和因变量之间存在线性关系。这意味着因变量的变化以线性方式跟随独立变量发生变化。

（2）独立性：数据集中的观测相互独立。这意味着一个观测的因变量值不取决于另一个观测的因变量值。

（3）方差齐性：在所有独立变量的取值范围内，误差的方差是恒定的。这表示独立变量的数量对误差的方差没有影响。

（4）正态性：模型中的误差服从正态分布。

（5）无多重共线性：独立变量之间没有高度相关性。这表示独立变量之间几乎没有或没有相关性。

这些条件是确保线性回归模型的准确性和可靠性所必需的。

线性回归的假设函数：

正如我们之前假设的，我们的独立特征是工作经验X，相应的薪水Y是因变量。假设X和Y之间存在线性关系，那么可以使用以下方式预测薪水：

该模型通过找到最佳的θ1和θ2值来得到最佳的回归拟合线。θ1是截距，θ2是输入x的系数。

一旦我们找到了最佳的θ1和θ2值，我们就得到了最佳拟合线。因此，当我们最终将我们的模型用于预测时，它将根据输入的x值预测y的值。

代价函数：

代价函数或损失函数实际上是预测值与真实值之间的误差或差异。它是预测值与真实值之间的均方误差（MSE）。代价函数（J）可以表示为：

如何更新 θ1 和 θ2 值以获得最佳拟合线呢？

为了实现最佳拟合的回归线，模型旨在预测目标值 ，使得预测值与真实值之间的误差最小。因此，更新 θ1 和 θ2 的值以达到最小化预测值与真实值之间误差的最佳值是非常重要的。

梯度下降：

可以使用梯度下降优化算法来训练线性回归模型，通过迭代地修改模型的参数以减少模型在训练数据集上的均方误差（MSE）。为了更新 θ1 和 θ2 的值以减少代价函数（最小化均方根误差值）并实现最佳拟合线，模型使用梯度下降。其思想是从随机的 θ1 和 θ2 值开始，然后迭代地更新这些值，达到最小的代价。

梯度实际上是一个导数，它定义了在输入略微变化时对函数输出的影响。它描述了函数的斜率或变化率，指示了在给定点上函数值增加最快的方向。在梯度下降中，我们利用梯度的方向来调整参数，以便更接近代价函数的最小值。

让我们对代价函数 J 关于 θ1 进行求导：

让我们对代价函数 J 关于 θ2 进行求导：

寻找最佳拟合训练数据的线性方程的系数是线性回归的目标。通过沿着均方误差负梯度的方向相对于系数的方向移动，可以改变系数。当学习率为 alpha 时，相应的截距和X的系数为：

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